趣味数学：多疑的妻子

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趣味数学：多疑的妻子

阿米莉亚、布伦达、谢里尔和丹尼斯这四位女士去参加一次聚会。

(1)晚上8点，阿米莉亚和她的丈夫已经到达，这时参加聚会的人数不到100人，正好分成五人一组进行交谈。

(2)到晚上9点，由于8点后只来了布伦达和她的丈夫，人们已改为四人一组在进行交谈。

(3)到晚上10点，由于9点后只来了谢里尔和她的丈夫，人们已改为三人一组在进行交谈。

(4)到晚上11点，由于10点后只来了丹尼尔和她的丈夫，人们已改为二人一组在进行交谈。

(5)上述四位女士中的一位，对自己丈夫的忠诚有所怀疑，本来打算先让她丈夫单独一人前来，而她自己则过一个小时再到。但是她后来放弃了这个打算。

(6)如果那位对丈夫的忠诚有所怀疑的女士按本来的打算行事，那么当她丈夫已到而自己还未到时，参加聚会的人们就无法分成人数相等的各个小组进行交谈。

这四位女士中哪一位对自己丈夫的忠诚有所怀疑?

(提示：用代数式表示在各个时间段参加聚会的人数，并且利用在三个时间段中各有两人来到的事实，写出三个方程。)

答　案

设a为8点时参加聚会的人分成的组数，则根据{(1)晚上8点，阿米莉亚和她的丈夫已经到达，这时参加聚会的人数不到100人，正好分成五人一组进行交谈。}，这时参加聚会的共有5a位。设b为9点时参加聚会的人分成的组数，则根据{(2)到晚上9点，由于8点后只来了布伦达和她的丈夫，人们已改为四人一组在进行交谈。}，这时参加聚会的共有4b位，而且5a+2=4b。

设c为10点时参加聚会的人分成的组数，则根据{(3)到晚上10点，由于9点后只来了谢里尔和她的丈夫，人们已改为三人一组在进行交谈。}，这时参加聚会的共有3c位，而且4b+2=3c。

设d为10点时参加聚会的人分成的组数，则根据{(4)到晚上11点，由于10点后只来了丹尼尔和她的丈夫，人们已改为二人一组在进行交谈。}，这时参加聚会的共有2d位，而且3c+2=2d。

经过反复试验，得出在第一个和第H个方程中a、b和c的可能值如下(根据(l)，不能大于20)。

5a+2=4b4b+2=3c

abbc

2312

6 8 4 3 10 13 7 10 14 18 10 14

18 23 13 18 16 22 19 26 22 30

由于b在两个方程中必须有相同的值，所b=13。于是a=10,c=8。由于c=18，所以从第三个方程，d=28。

因此，参加聚会的人数，8点时是50人，9点时是52人，10点时是54人，11点时是56人。

根据(1)、(5)和(6)，如果是阿米莉亚按原来打算在她丈夫

之后一小时到达，则8点时参加聚会的人数就会是49人。根据(2)、(5)和(6)，如果是布伦达按原来打算在她丈夫之后一小时到达，则9点时参加聚会的人数将会是51人。根据(3)、(5)和(6)，如果是谢里尔按原来打算在她丈夫之后一小时到达，则10点时参加聚会的人数将会是53人。根据(4)、(5)和(6)，如果是丹尼斯原来打算在她丈夫之后一小时到达，则11点时参加聚会的人数将会是55人。

在49人、51人、53人和55人这四个人数中，只有53人不能分成人数相等的若干个小组(为了能进行交谈每组至少要有两人)。

因此，根据(3)和(6)，对自己丈夫的忠诚有所怀疑的是谢里尔。

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