高中数学平面向量基本定理证明

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如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x 、y) ，使 a= xe1+ ye2。

用反证法证明

假设存在 另一对实数 m,n 满足 me1+ye2=a

又 xe1+ye2=a

me1+ye2=xe1+ye2

(m-x)e1=(y-n)e2

因为e1,e2不共线

所以 m-x=0,y-n=0 所以m=x,y=n

与假设矛盾

所以得证

推广：已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C，则点P位于平面ABC内的充要条件是：存在x.y.z∈R，满足x+y+z=1 使OP=xOA+yOB+zOC。

证明：(充分性)

∵x+y+z=1

∴ z=1-x-y

又∵OP=xOA+yOB+zOC

∴ OP =xOA+yOB+(1-x-y)OC

OP=x(OA-OC)+y(OB-OC)+OC

OP-OC=x(OA-OC)+y(OB-OC)

∴ CP=xCA+yCB

又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量

∴ 根据平面向量的基本定理可知，点P位于平面ABC内

∴ 充分性成立

(必要性)

∵点P位于平面ABC内

又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量

∴ 根据平面向量的基本定理可知，存在实数x，y使得

CP=xCA+yCB

∴ OP-OC=x(OA-OC)+y(OB-OC)

OP=x(OA-OC)+y(OB-OC)+OC

OP =xOA+yOB+(1-x-y)OC

令z=1-x-y

则x+y+z=1 且 OP=xOA+yOB+zOC

即，存在实数x、y、z满足x+y+z=1，使得OP=xOA+yOB+zOC

∴ 必要性成立

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