高三数学解析几何训练试题

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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=1上，则D与E的关系是(　　)

A.D+E=2 B.D+E=1

C.D+E=-1 D.D+E=-2[来X k b 1 . c o m

解析　D　依题意得，圆心-D2，-E2在直线x+y=1上，因此有-D2-E2=1，即D+E=-2.

2.以线段AB：x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　)

A.(x+1)2+(y+1)2=2 　 B.(x-1)2+(y-1)2=2

C.(x+1)2+(y+1)2=8 　 D.(x-1)2+(y-1)2=8

解析　B　直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

3.已知F1、F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|•|PF2|取最大值的点P为(　　)

A.(-2,0) B.(0,1) C.(2,0) D.(0,1)和(0，-1)

解析　D　由椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，∴|PF1|•|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=4，

当且仅当|PF1|=|PF2|，即P(0，-1)或(0,1)时，取“=”.

4.已知椭圆x216 +y225=1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是(　　)

A.165 B.3 C.163 D.253

解析　A　椭圆x216+y225=1的焦点分别为F1(0，-3)、F2(0,3)，易得∠F1PF2<π2，∴∠PF1F2=π2或∠PF2F1=π2，点P到y轴的距离d= |xp|，又|yp|=3，x2p16+y2p25=1，解得|xP|=165，故选A.

5.若曲线y=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为(　　)

A.4x+y+4=0 B.x-4y-4=0

C.4x-y-12=0 D.4x-y-4=0

解析　D　设切点为(x0，y0)，则y′|x=x0=2x0， ∴2x0=4，即x0=2，

∴切点为(2,4)，方程为y-4=4(x-2)， 即4x-y-4=0.

6.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析　C　方程可化为x21m+y21n=1，若焦点在y轴上，则1n>1m>0，即m>n>0.

7.设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　)

A.54 B.5 C.52 D.5

解析　D　双曲线的渐近线为y=±bax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点

即可由y=x2+1，y=bax，得x2-bax+1=0.

∴Δ=b2a2-4=0，即b2=4a2，∴e=5.

8.P为椭圆x24+y23=1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2=60°，则PF1→•PF2→=(　　)

A.3 B.3

C.23 D.2

解析　D　∵S△PF1F2=b2tan60°2=3×tan 30°=3=12|PF1→|•|PF2→|•sin 60°，∴|PF1→||PF2→|=4，∴PF1→•PF2→=4×12=2.

9.设椭圆x2m2+y2n2=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为(　　)

A.x212+y216=1 B.x216+y212=1

C.x248+y264=1 D.x264+y248=1

解析　B　抛物线的焦点为(2,0)，∴由题意得c=2，cm=12，

∴m=4，n2=12，∴方程为x216+y212=1.

10.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的 一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)

A.2 B.3

C.2 D.3

解析　B　设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1，焦点F(-c，0)，将x=-c代入x2a2-y2b2=

1可得y2=b4a2，∴|AB|=2×b2a=2×2a，∴b2=2a2，c2=a2+b2=3a2，∴e=ca=3.

11.已知抛物线y2=4x的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的焦距为(　　)

A.5 B.25

C.3 D.23

解析　B　∵抛物线y2=4x的准线x=-1过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左顶点，∴a=1，∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±bx.∵双 曲线的一条渐近线方程为y=2x，∴b=2，∴c=a2+b2=5，∴双曲线的焦距为25.

12.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线x2a-y2=1的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为(　　)

A.19 B.14

C.13 D.12

解析　A　由于M(1，m)在抛物线上，∴m2=2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x=-p2的距离也为5，∴1+p2=5，∴p=8，由此可以求得m=4，双曲线的左顶点为A(-a，0)，∴kAM=41+a，而双曲线的渐近线方程为y=±xa，根据题意得，41+a=1a，∴a=19.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分， 共20分.把答案填在题中横线上)

13.已知直线l1：ax-y+2a+1=0和l2：2x-(a-1)y+2=0(a∈R)，则l1⊥l2的充要条件是a=________.

解析　l1⊥l2⇔a•2a-1=-1，解得a=13.

【答案】　13

14.直线l：y=k(x+3)与圆O：x2+y2=4交于A，B两点，|AB|=22，则实数k=________.

解析　∵|AB|=22，圆O半径为2，∴O到l的距离d=22-2=2.即|3k|k2+1=2，解得k=± 147.

【答案】　±147

15.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________.

解析　如图，圆的方程可化为

(x-3)2+(y-4)2=5，

∴|OM|=5，|OQ|=25-5=25.

在△OQM中，

12|QA|•|OM|=12|OQ|•|QM|，

∴|AQ|=25×55=2，∴|PQ|=4.

【答案】　4

16.在△ABC中，|BC→|=4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD→|-|CD→|=22，则顶点A的轨迹方程为________.

解析　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点.

则|BE|=|BD|，|CD|=|CF|，

|AE|=|AF|.∴|AB|-|AC|=22，

∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a=2，c=2，∴b=2，∴方程为x22-y22=1(x>2).

【答案】　x22-y22=1(x>2)

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