高三数学知识点：全称量词与存在量词

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全称量词与存在量词

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.

教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化;

教学难点：隐蔽性否定命题的确定;

课 型：新授课

教学手段：多媒体

教学过程：

一、创设情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为“ ”与“ ”来表示);由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中， 都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

(1)所有的矩形都是平行四边形;

(2)每一个素数都是奇数;

(3)xR，x2-2x+1≥0

分析：(1) ，否定：存在一个矩形不是平行四边形;

(2) ，否定：存在一个素数不是奇数;

(3) ，否定：xR，x2-2x+1<0;

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.

三、师生探究

问题2：写出命题的否定

(1)p：$ x∈R，x2+2x+2≤0;

(2)p：有的三角形是等边三角形;

(3)p：有些函数没有反函数;

(4)p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分;

分析：(1) xR，x2+2x+2>0;

(2)任何三角形都不是等边三角形;

(3)任何函数都有反函数;

(4)对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分;

从集合的运算观点剖析： ,

四、数学理论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P： xM,有P(x)成立;其否定命题┓P为：x∈M,使P(x)不成立。存在性命题P：xM，使P(x)成立;其否定命题┓P为： xM,有P(x)不成立。

用符号语言表示：

P:M, p(x)否定为 P: M,  P(x)

P:M, p(x)否定为 P: M,  P(x)

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定

词语 是 一定是 都是 大于 小于 且

词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或

词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立

词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立

五、巩固运用

例1 写出下列全称命题的否定：

(1)p：所有人都晨练;

(2)p：xR，x2+x+1>0;

(3)p：平行四边形的对边相等;

(4)p：$ x∈R，x2-x+1=0;

分析：(1) P：有的人不晨练;(2)$ x∈R，x2+x+1≤0;(3)存在平行四边形，它的的对边不相等;(4)xR，x2-x+1≠0;

例2 写出下列命题的否定。

(1) 所有自然数的平方是正数。

(2) 任何实数x都是方程5x-12=0的根。

(3) 对任意实数x，存在实数y，使x+y>0.

(4) 有些质数是奇数。

解：(1)的否定：有些自然数的平方不是正数。

(2)的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

(3)的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

(4)的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x>3，则x2>9”。在求解中极易误当为简单命题处理;这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3 写出下列命题的否定。

(1) 若x2>4 则x>2.。

(2) 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

(3) 可以被5整除的整数，末位是0。

(4) 被8整除的数能被4整除。

(5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

解(1)否定：存在实数 ，虽然满足 >4，但 ≤2。或者说：存在小于或等于2的数 ，满足 >4。(完整表达为对任意的实数x, 若x2>4 则x>2)

(2)否定：虽然实数m≥0,但存在一个 ，使 + -m=0无实数根。(原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。)

(3)否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

(4)否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

(5)否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。(原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。)

例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

(1)p：若x>y,则5x>5y;

(2)p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2;

(3)p：正方形的四条边相等;

(4)p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：(1) P：若 x>y，则5x≤5y; 假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y;真命题

(2) P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2;真命题

否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2);假命题。

(3) P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等;假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

(4) P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

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