高三数学：解析几何测试题

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.若直线l与直线y=1、x=7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为(　　)

A.13　　　　 B.-13　　　　C.-32　　　　 D.23

解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为a+72，1+b2，则

a+72=1，1+b2=-1，解得a=-5，b=-3，即可得P(-5,1)，Q(7，-3)，故直线l的斜

率为kPQ=1+3-5-7=-13.

答案：B

2.若直线x+(a-2)y-a=0与直线ax+y-1=0互相垂直，则a的值为(　　)

A.2 B.1或2

C.1 D.0或1

解析：依题意，得(-a)×-1a-2=-1，解得a=1.

答案：C

3.已知圆(x-1)2+(y-33)2=r2(r>0)的一条切线y=kx+3与直线x=5的夹角为π6，则半径r的值为(　　)

A.32 B.332

C.32或332 D.32或3

解析：∵直线y=kx+3与x=5的夹角为π6，∴k=±3.由直线和圆相切的条件得r=32或332.

答案：C

4.顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y=x+1截得的弦长是10，则抛物线的方程是(　　)

A.y2=-x，或y2=5x B.y2=-x

C.y2=x，或y2=-5x D.y2=5x

解析：由题意，可知抛物线的焦点在x轴上时应有两种形式，此时应设为y2=mx(m≠0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m=-1，或m=5，从而选项A正确.

答案：A

5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，若该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为(　　)

A.106 B.206

C.306 D.406

解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252-12=46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为12×46×10=206，故应选B.

答案：B

6.若双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是(　　)

A.3 B.5

C.3 D.5

解析：焦点到准线的距离为c-a2c=b2c，焦点到渐近线的距离为bca2+b2=b，bc=23，e=3.

答案：C

7.若圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为(　　)

A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2

C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2 ，故圆的半径为 ，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

答案：C

8.已知抛物线y2=2px(p>0)，过点E(m, 0)(m≠0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若PM→=λME→，PN→=μNE→，则λ+μ =(　　)

A.1 B.-12

C.-1 D.-2

解析：设过点E的直线方程为y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=2p+2mk2k2，x1x2=m2.

由PM→=λME→，PN→=μNE→，可得

x1=λ(m-x1)，x2=μ(m-x2)，则λ+μ=x1m-x1+x2m-x2=x1(m-x2)+x2(m-x1)(m-x1)(m-x2)=m(x1+x2)-2x1x2m2+x1x2-m(x1+x2)=m(x1+x2)-2m22m2-m(x1+x2)=-1.

答案：C

9.直线MN与双曲线C：x2a2-y2b2=1的左、右支分别交于M、N点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|=2|FN|，又NP→=λPM→(λ∈R)，则实数λ的值为(　　)

A.12 B.1

C.2 D.13

解析：如图所示，分别过点M、N作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.

由双曲线的第二定义，可得 = =e，

则 = =2.

∵△MPB∽△NPA，∴ = = ，即 = .

答案：A

10.在平面直角坐标系内，点P到点A(1,0)，B(a,4)及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a=(　 　)

A.1 B.2

C.2或-2 D.1或-1

解析：依题意得，一方面，点P应位于以点A(1,0 )为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x上;另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y-2=-a-14x-a+12上.

由于要使这样的点P是唯一的，

因此要求方程组y2=4x，y-2=-a-14x-a+12有唯一的实数解.

结合选项进行检验即可.当a=1时，抛物线y2=4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意;当a=-1时，线段AB的中垂线方程是y=12x+2，易知方程组y2=4x，y=12x+2有唯一实数解.

综上所述，a=1，或a=-1.

答案：D

11.已知椭圆C：x24+y2=1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2=|PF1|•|PF2|(其中O为坐标原点)，则称点P为“★点”.下列结论正确的是(　　)

A.椭圆C上的所有点都是“★点”

B.椭圆C上仅有有限个点是“★点”

C.椭圆C上的所有点都不是“★点”

D.椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”

解析：设椭圆C：x24+y2=1上点P的坐标为(2cosα，sinα)，由|PO|2=|PF1|•|PF2|，可得4cos2α+sin2α=(2cosα+3)2+sin2α•(2cosα-3)2+sin2α，整理可得cos2α=12，即可得cosα=±22，sinα=±22，由此可得点P的坐标为±2，±22，即椭圆C上有4个点是“★点”.

答案：B

12.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|•|OR|的大小关系为(　　)

A.|OP|2<|OQ|•|OR| B.|OP|2>|OQ|•|OR|

C.|OP|2=|OQ|•|OR| D.不确定

解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程是y=±bax，直线AQ的方程是y=ba(x-a)，直线AR的方程是y=-ba(x-a)，直线OP的 方程是y=y0x0x，可得Qabx0bx0-ay0，aby0bx0-ay0，Rabx0bx0+ay0，aby0bx0+ay0.

又x02a2-y02b2=1，可得|OP|2=|OQ|•|OR|.

答案：C

第Ⅱ卷　(非选择　共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.若两直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0互相垂直，则其交点的坐标为__________.

解析：由已知两直线互相垂直可得a=-2，

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