分步计数原理一题多解,让你彻底学会!

分步计数原理一题多解,让你彻底学会!是关于高中学习 - 高中数学 - 数学典例讲解方面的资料, 　　例2．用0，1，2，3，4这一个数字。（1）组成比1000小的正整数有多少种不同的方法？
　　（2）组成无重复数字的三位偶数有多少种不同的方法。

　　解：（1）解法一（直接法）：
　　据题意，比1000小的正整数可以是一位数，两位或三位数三类。
　　一位数的取法，从1，2，3，4中任取一个，即有4种。
　　两位数：十位从1，2，3，4中任取一个，有4种取法，接着取个位从0，1，2，3，4中任取一个有5种取法，即4×5=20种。
　　三位数：百位从1，2，3，4中取，有4种取法，个位，十位都可以从0，1，2，3，4中任取一个，各有5种取法，　　即三位数有4×5×5=100（种）。
　　∴ 共有4+20+100=124（种）不同的方法。
　　解法二（间接法）：
　　首先从0，1，2，3，4中任取一个数字分别作为百位，十位，个位，则有5×5×5=125（种）取法。
　　又 ∵ 百，十，个位都取0时，得到的不是正整数，则应有125-1=124（种）不同取法。

　　（2）解法一：
　　要组成无重复数字的三位偶数，个位只能取0，2，4，百位不能取0，所以我们可以先从个数看起。
　　　　　　　　　个 百 十
　　个位取0时　　 1×4×3=12（种）
　　个位取2或4时　2×3×3=18（种）
　　∴ 共有12+18=30（种）。
　　解法二：
　　从百位看起：
　　　　　　　　　百 个 十
　　百位取1或3时　2×3×3=18（种）
　　百位取2或4时　2×2×3=12（种）
　　∴ 共有18+12=30（种）。
　　解法三：
　　先不考虑偶数的要求，则可组成无重复数字的三位数有：
　　百 十 个
　　4×4×3=48（种）。
　　减去三位奇数：　个 百 十
　　个位从1或3中取　2×3×3=18（种）
　　∴ 共有48-18=30（种）。
　　解法四：
　　由题意：百位不可以取0，则可以从0这个特殊元素入手，分为三类：个位取0，十位取0或三个数字都不取0。
　　　　　　　　个 百 十
　　则个位取0　 1×4×3=12
　　　　　　　　十 个 百
　　十位取0　 　1×2×3=6
　　　　　　　　　　　　个 百 十
　　不选0，个位选2或4　 2×3×2=12
　　∴ 共有12+6+11=30（种）。

　　点评：在具体分类或分步时，要分析题目的要求，对元素（本题中0，1，2，3，4这些数字）和位置（百、十、个位）的特殊性进行识别，得到0，2，4为特殊元素（以下简称特元），百，个位为特位。在逐步分类，分步时，优先考虑特元，特位，如（2）中解法1，2，3先考虑百，个的特殊要求，即从特位入手；解法四从0出发，即特元出发进行分类。
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