分步计数原理中最经典的三道练习题

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分步计数原理最经典的两道练习题
　　1．在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

　　解法一：按个数数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，则共有1+2+3+……+8=36个。
　　解法二：按十位数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9分成8 类，在每一类中满足条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8+7+6……+1=36（个）。
　　答：（略）。
　　2．五封不同的信投入四个邮筒
　　（1）随便投完五封信，有多少种不同投法？
　　（2）每个邮筒中至少要有一封信，有多少种不同投法？

　　解：（1）对每封信来说，有4种投法，分五步把这些信都投完，则共有4×4×4×4×4=4⁵（种）投法。
　　（2）先选出一封信不投，另外4封往四个筒里各投一封，再把剩下的信投入任意一个筒内，这样会使每种投法重复了一次。而5封中选一封，有5种选法。
　　剩下四封往四个筒里各投一封，有4×3×1×1种投法。再把剩下一封信投完，有4种投法。
　　都重复了一次，以上数相乘再除以2。即：=240（种）。
 

　3．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。
　　（1）从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？
　　（2）从两个口袋内各取1个4球，有多少种不同的取法。
　　解：（1）从两个口袋中任取一个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m₁+m₂=5+4=9(种)。
　　（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法。根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N=m₁×m₂=5×4=20(种)。
　　即：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法；从两个口袋内各取1个小球，有20种不同取法。
　　点评：在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有n类办法还是需分成n个步骤。应用分类计数原理必须要求各类的每一种方法都保证了完成这件事；应用分步计数原理则是需各步均是完成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤。
　　解题时分清用分类计数原理还是分步计数原理的关键在于“分类完成”还是“分步完成”。
 

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